ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ ПЕРВОГО РОДА С ОСОБЕННОСТЯМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА НА КЛАССЕ ФУНКЦИЙ С ВЕСОМ ((1+ x) / (1− x)^±1/2 

Бойков Илья Владимирович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: boikov@pnzgu.ru
Бойкова Алла Ильинична, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40), E-mail: math@pnzgu.ru 

517.392 

DOI

10.21685/2072-3040-2019-3-6 

Актуальность и цели. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений являются активно развивающимся направлением вычислительной математики. Это связано с многочисленными приложениями гиперсингулярных интегральных уравнений в аэродинамике, электродинамике, физике и с тем обстоятельством, что аналитические решения гиперсингулярных интегральных уравнений возможны лишь в исключительных случаях. Помимо непосредственных приложений в физике и технике, гиперсингулярные интегральные уравнения первого рода возникают при приближенном решении граничных задач математической физики. В последнее время интерес к исследованию аналитических и численных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений значительно усилился в связи с их активным применением при моделировании различных задач в радиотехнике и радиолокации. Оказалось, что одним из основных методов математического моделирования антенн являются гиперсингулярные интегральные уравнения. В данной работе предложены и обоснованы проекционные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка. Исследуется случай, когда решение имеет вид x(t) = (1− t2 )^±1/2ϕ(t) .
Материалы и методы. Используются методы функционального анализа и теории приближения. Введены функциональные пространства, в которых действуют гиперсингулярные операторы. Для доказательства разрешимости предложенной вычислительной схемы и оценки точности приближенного метода используется общая теория приближенных методов Канторовича.
Результаты. Построена вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений с особенностями второго порядка на классе решений вида x(t) = (1− t2 )^±1/2ϕ(t) . Получены оценки быстроты сходимости и погрешности вычислительной схемы.
Выводы. Построена и обоснована вычислительная схема приближенного решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода, определенных на сегменте [–1,1]. Полученные результаты могут быть использованы при решении задач аэродинамики (уравнение конечного крыла), электродинамики (дифракция на различных экранах), гидродинамики (теория подводного крыла), при решении уравнений математической физики методом граничных интегральных уравнений. 

Ключевые слова

гиперсингулярные интегральные уравнения, метод коллокаций, метод механических квадратур 

 Скачать статью в формате PDF

1. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. – Москва : Наука, 1977. – 640 с.
2. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхелишвили. – Москва : Наука, 1968. – 612 с.
3. Бойков, И. В. Аналитические методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – № 2. – С. 63–78.
4. Boykov, I. V. Analytical methods for solution of hypersingular and polyhypersingular integral equations / I. V. Boykov, A. I. Boykova // arXiv:1901.04880v1 [math.NA] 15 Janury 2019. 22 p.
5. Иванов, В. В. Теория приближенных методов и ее применение к численному решению сингулярных интегральных уравнений / В. В. Иванов. – Киев : Наукова думка, 1968. – 287 с.
6. Гохберг, И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. – Москва : Наука, 1971. – 352 с.
7. Белоцерковский, С. М. Численные методы в сингулярных интегральных уравнениях / С. М. Белоцерковский, И. К. Лифанов. – Москва : Наука, 1985. – 256 с.
8. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный эксперимент / И. К. Лифанов. – Москва : ТОО «Янус», 1995. – 520 с.
9. Prossdorf, S. Numerical Analysis for Integral and Related Operator Equations / S. Prossdorf, B. Silberman. – Berlin : Acad. Verl., 1991.
10. Mikhlin, S. G. Singular Integral Operatoren / S. G. Mikhlin, S. Prossdorf. – Berlin : Acad. Verl., 1980.
11. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. – Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. – 316 с.
12. Boykov, I. V. Numerical methods for solution of singular integral equations / I. V. Boykov // arXiv: 1610.09611[math.NA]. 182 p.
13. Бойков, И. В. Приближенное решение интегральных уравнений Фредгольма с интегралом в смысле главного значения Коши – Адамара / И. В. Бойков // Функциональный анализ и теория функций : сб. – Вып. 7. – Казань, 1970. – С. 3–23.
14. Boykov, I. V. New iterative method for solving linear and nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, V. A. Roudnev, A. I. Boykova, O. A. Baulina // Applied Numerical Mathematics. – 2018. – Vol. 127. – P. 280–305.
15. Boykov, I. V. An approximate solution of hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2010. – Vol. 60, № 6. – P. 607–628.
16. Boykov, I. V. An approximate solution of nonlinear hypersingular integral equations / I. V. Boykov, E. S. Ventsel, V. A. Roudnev, A. I. Boykova // Applied Numerical Mathematics. – 2014. – Vol. 86. – P. 1–21.
17. Бойков, И. В. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегральных уравнений методом коллокаций / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова, М. А. Сёмов, А. А. Есафьев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2014. – № 3. – С. 101–113.
18. Бойков, И. В. Приближенное решение интегродифференциальных уравнений с интегралом в смысле Адамара / И. В. Бойков // Ученые записки Пензенского политехнического института. – Вып. 4. – Пенза, 1973. – С. 42–61.
19. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки – 2010. – № 1. – С. 80–90.
20. Бойков, И. В. Приближенные методы решения сингулярных и гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2012. – № 3 (23). – С. 99–114.
21. Golberg, M. A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite- part integrals I / M. A. Golberg // Journal of Integral Equations. – 1983. – Vol. 5. – P. 329–340.
22. Golberg, M. A. The convergence of several algorithms for solving integral equations with finite- part integrals II / M. A. Golberg // Journal of Integral Equations. – 1985. – Vol. 9. – P. 267–275.
23. Eshkuvatov, Z. K. Projection Method for Bounded and Unbounded Solution of Hypersingular Integral Equations of the First King / Z. K. Eshkuvatov, A. Narzullaev // Indian Journal of Industrial and Applied Mathematics. – 2019. – Vol. 10, № 1 (Special Issue). – P. 11–37.
24. Eshkuvatov, Z. K. Modified homotopy perturbation method for solving hypersingular integral equations of the first kind / Z. K. Eshkuvatov, F. S. Zulkarnain, N. M. A. Nik Long, Z. Muminov // SpringerPlus. – 2016. – Vol. 5. – Р. 1473.
25. Eminov, S. I. The rate of convergence of hypersingular equations numerical computation / S. I. Eminov, S. Yu. Petrova // Vestnik YuUrGU. Ser. Mat. Model. Progr. – 2018. – Vol. 11, iss. 2. – P. 139–146.
26. Лифанов, И. К. К решению составных интегральных уравнений / И. К. Лифанов // Успехи современной радиоэлектроники. – 2006. – № 8. – С. 62–67.
27. Вайникко, Г. М. Численные методы в гиперсингулярных интегральных уравнениях и их приложения / Г. М. Вайникко, И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский. – Москва : Янус-К., 2001. – 508 с.
28. Оселедец, И. В. Приближенное обращение матриц при решении гиперсингулярного интегрального уравнения / И. В. Оселедец, Е. Е. Тыртышников // Журнал вычислительной математики и математической физики. – 2005. – Т. 45, № 2. – С. 315–326.
29. Бойков, И. В. Приближенные методы решения гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода с особенностями второго порядка на классах функций с весами (1− t2 )−1/2 / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2017. – № 2. – С. 79–90.
30. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений первого рода / И. В. Бойков, А. И. Бойкова, М. А. Сёмов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. – 2015. – № 3. – С. 11–27.
31. Hadamard, J. Lecons sur la Propagation des Ondes et les Equations de l'Hydrodynamique / J. Hadamard. – Herman. – Paris, 1903. – 320 p. (reprinted by Chelsea. – New York, 1949).
32. Адамар, Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболического типа / Ж. Адамар. – Москва : Наука, 1978. – 351 с.
33. Адамар, Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики / Ж. Адамар. – Москва : Советское радио, 1970. – 152 с.
34. Чикин, Л. А. Особые случаи краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений / Л. А. Чикин // Ученые записки Казанского государственного университета. – 1953. – Т. 113, кн. 10. – С. 57–105.
35. Kaya, A. C. On the solution of integral equations with strongly singular kernels / A. C. Kaya, E. Erdogan // Quatery of applied mathematics. – 1987. – Vol. 45, № 1. – P. 105–122.
36. Гельфанд, И. М. Обобщенные функции и действия над ними / И. М. Гельфанд, Г. Е. Шилов. – Вып. 1. – Москва : ГИФМЛ, 1958. – 439 с.
37. Канторович, Л. В. Функциональный анализ / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. – Москва : Наука, 1977. – 750 с.